높이 \(h\)에서 던진 물체, 어디까지 날아갈까?

가장 간단한 경우, 즉 지면(\(h=0\))에서 던지는 경우부터 보자. 이때 수평 도달 거리는 \(R=\dfrac{v_0^2}{g}\sin2\theta\)로 잘 알려져 있다. 그런데 \(30^\circ\)로 던지든 \(60^\circ\)로 던지든 \(\sin60^\circ\)로 같은 값이 나온다 (\(\sin(2\times30^\circ)=\sin60^\circ,\ \ \sin(2\times60^\circ)=\sin120^\circ=\sin60^\circ\)). 즉, 두 각의 합이 \(90^\circ\)이기만 하면, 서로 다른 두 발사각이 정확히 같은 지점에 떨어진다.

이 사실은 본문의 판별식과 정확히 대응한다. 판별식 \(D>0\)이라는 것은 \(\tan\theta\)에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 뜻이고, 이는 곧 "같은 거리 \(R\)에 도달하는 발사각이 두 개 존재한다"는 것과 같다 — 방금 본 \(30^\circ,\ 60^\circ\)의 짝이 바로 그 예다.

이제 이 두 발사각의 짝을 \(30^\circ,\ 60^\circ\)에서 \(40^\circ,\ 50^\circ\)로, 점점 \(45^\circ\)에 가깝게 좁혀보자. 두 각이 만드는 도달 거리 \(R\)은 점점 커지고, 동시에 두 근은 점점 가까워진다. 결국 \(\theta=45^\circ\)에서 두 근은 완전히 하나로 겹치는데, 이 순간이 바로 \(R\)이 최댓값 \(R_{\max}\)에 도달하는 순간이며, 판별식이 정확히 \(D=0\)이 되어 "서로 다른 두 실근"이 "중근 하나"로 합쳐지는 순간과 정확히 일치한다.

만약 이보다 더 먼 거리를 요구하면 어떤 발사각으로도 도달할 수 없다 — \(\tan\theta\)에 대한 방정식이 더 이상 실근을 갖지 못하기 때문이다(\(D<0\)). 즉 \(R_{\max}\)는 "두 해가 하나로 합쳐지는 경계"이자 동시에 "더 이상 실근이 존재하지 않게 되는 문턱"이며, 이 둘이 겹치는 지점이 바로 \(D=0\)이다. 높이 \(h\neq0\)인 일반적인 경우도 식은 더 복잡해지지만 원리는 똑같다: 같은 \(R\)에 도달하는 두 발사각이 하나로 합쳐지는 순간이 곧 최댓값이다.

넓이 공식 \(\dfrac{1}{2}|\vec{v}_0||\vec{v}_f|\sin\Phi\)에서 \(|\vec{v}_0|\)는 처음에 던진 속력이므로 이미 고정된 값이고, \(|\vec{v}_f|=\sqrt{v_0^2+2gh}\) 역시 발사각 \(\theta\)와 무관하게 \(h,\ v_0,\ g\)만으로 결정되는 고정된 값이다. 즉 어떤 각도로 던지든 두 속력 \(|\vec{v}_0|,\ |\vec{v}_f|\)는 절대 변하지 않고, 삼각형의 넓이는 오직 두 벡터 사이의 사잇각 \(\Phi\)만 발사각에 따라 달라진다.

두 변의 길이가 고정된 상태에서 만들 수 있는 삼각형을 생각해 보자. 한쪽 끝을 원점에 고정하고 사잇각만 \(0^\circ\)에서 \(180^\circ\)까지 벌려 보면, 두 변이 거의 겹쳐진 \(0^\circ\)나 \(180^\circ\) 근처에서는 삼각형이 납작하게 눌려 넓이가 \(0\)에 가깝고, 사잇각이 벌어질수록 넓이는 커진다. \(\sin\Phi\)는 \(\Phi=90^\circ\)에서 정확히 최댓값 \(1\)을 가지므로, 길이가 고정된 두 변으로 만들 수 있는 삼각형의 넓이는 두 변이 직교할 때 가장 크다.

이제 이 넓이가 \(\dfrac{1}{2}gR\)과 같다는 것을 떠올리면(방법 B), \(g\)는 상수이므로 넓이가 커질수록 \(R\)도 그만큼 커진다 — 넓이와 \(R\)은 정확히 비례한다. 따라서 넓이를 최대로 만드는 조건과 \(R\)을 최대로 만드는 조건은 완전히 같은 조건이며, 그 조건이 바로 \(\vec{v}_0 \perp \vec{v}_f\), 즉 \(\Phi=90^\circ\)이다.