미분에 관하여...

함수란 무엇인가

함수란, 한 집합의 원소들을 다른 집합의 원소들에 대응시키는 규칙으로서, 정의역의 각 원소에 정확히 하나의 값이 대응되는 관계이다. 집합 \(A\), \(B\)에 대해 함수는 보통 다음과 같이 쓴다.

이는 다음을 뜻한다.

\(y=f(x)\)라고 쓸 때,

예를 들어,

\(y=f(x)=2x+1\)

에서 \(x\)가 독립변수이고 \(y\)가 종속변수이다. \(x=1,2,3\)일 때 각각

이 대응된다. 각 입력값에 출력값이 하나씩만 정해지므로 함수이다. 이 대응 관계를 그래프로 나타내면 [FIG. 1.]과 같다 — 정의역의 각 점 \(x\)가 직선 위의 한 점 \((x,f(x))\)로 대응됨을 알 수 있다.

다만 독립변수와 종속변수라는 말은 주로 함수식이나 두 양의 변화 관계를 설명할 때 쓰는 표현이다. 함수의 가장 본질적인 정의는 "정의역의 각 원소에 공역의 원소가 정확히 하나 대응한다"는 것이다.

\(x\)가 변할 때 \(y\)는 어떻게 변할까

함수 \(y=f(x)\)에서 독립변수 \(x\)가 변하면 종속변수 \(y=f(x)\)도 함께 변한다. 그래프 위에서 이 변화는 곡선을 따라 움직이는 점으로 나타난다 — \(x\)가 커질 때 \(y\)도 함께 커지면 그 구간에서 \(f\)는 증가한다고 하고, \(x\)가 커질 때 \(y\)가 작아지면 \(f\)는 감소한다고 한다.

이때 증가와 감소는 그래프가 얼마나 가파르게 오르내리는지, 즉 곡선의 기울기와 밀접한 관련이 있다는 직관을 가질 수 있다. 곡선이 가파르게 위로 향할수록 \(y\)는 \(x\)의 작은 변화에도 크게 반응하고, 곡선이 평평할수록 \(y\)는 거의 변하지 않는다. 이 기울기를 숫자로 정확히 표현하는 것이 이 페이지 전체의 목표다.

두 함수 \(y=x\)와 \(y=2x\)의 변화량을 비교해 보자. 두 함수 모두 \(x\)가 커지면 \(y\)도 커지는 증가 함수이지만, "증가하는 정도"는 서로 다르다. [FIG. 2.]에서 볼 수 있듯이, \(x\)가 \(x=1\) 근처에서 \(1\)만큼 변할 때(\(\Delta x=1\)), \(y=x\)의 \(y\)값은 1만큼 변화하지만, \(y=2x\)는 \(y\)값은 2만큼 변한다.

같은 만큼 \(x\)를 움직였는데도 \(y\)의 변화량이 다르다는 것은, 그래프의 기울기가 다르다는 것과 같은 말이다. \(y=2x\)의 그래프가 \(y=x\)보다 더 가파르게 보이는 이유가 바로 여기에 있다 — "가파르다"는 직관을, "같은 \(\Delta x\)에 대해 \(\Delta y\)가 더 크다"는 정확한 말로 바꿀 수 있다.

두 양의 변화량과 그 비

두 변수 \(x,\ y\) 사이에 관계 \(y=f(x)\)가 있을 때, \(x\)의 변화량을 \(\Delta x\), 그에 대응하는 \(y\)의 변화량을 \(\Delta y\)라고 쓴다. 즉 \(x\)가 \(x_1\)에서 \(x_2\)로 변할 때,

이 두 변화량의 비를 변화율이라고 한다.

\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

변화율은 "\(x\)가 1만큼 변할 때 \(y\)는 대략 얼마나 변하는가"를 나타내는 값이며, 그래프에서는 두 점을 잇는 직선의 기울기로 나타난다.

구간 \([a,b]\)에서의 평균 변화율

평균 변화율은 어떤 함수에서 독립변수 \(x\)의 값이 변화함에 따라 종속변수 \(y\)의 값이 평균적으로 얼마나 변화했는가를 나타내는 개념이다. 미적분학에서 매우 중요한 순간 변화율(미분계수)을 이해하기 위한 가장 기초적이고 핵심적인 개념이기도 하다.

함수 \(f\)가 구간 \([a,b]\)에서 정의되어 있을 때, \(x\)가 \(a\)에서 \(b\)까지 변하는 동안의 평균 변화율은 다음과 같이 정의된다.

이는 그래프 위의 두 점 \(\mathrm{P}(a,f(a))\), \(\mathrm{Q}(b,f(b))\)를 잇는 할선의 기울기와 정확히 같다. [FIG. 3.]은 \(f(x)=x^2\)의 그래프 위에서 \(a=1,\ b=2\)일 때 할선을 보여준다.

여기서 중요한 점은, 평균 변화율이 구간 \([a,b]\) 안의 모든 점들에 대한 값이 아니라는 것이다. 같은 함수라도 어느 구간을 보느냐에 따라 평균 변화율은 다른 값을 가진다. 예를 들어 \(f(x)=x^2\)에서 \(2\)부터 \(4\)까지의 평균 변화율과 \(3\)부터 \(5\)까지의 평균 변화율을 비교해 보자.

한 점에서의 변화율을 알고 싶다면

평균 변화율은 두 점 사이의 구간에서의 변화를 나타낸다. 그렇다면 그래프 위의 한 점, 예를 들어 \(f(x)=x^2\)에서 \(x=1\)인 점 \(\mathrm{P}(1,1)\)에서의 변화율은 어떻게 구할 수 있을까?

\(\mathrm{P}\)를 고정하고 다른 점을 \(\mathrm{Q}(1+h,f(1+h))\)라 하자. 구간의 폭 \(h\)를 \(1,\ 0.5,\ 0.1\)로 줄여가며 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\)를 잇는 직선(오렌지색 직선, \(m\)은 두 점 사이의 평균 변화율)을 그려 보면 [FIG. 4.]와 같다. 구체적으로 각 구간에서 직선의 기울기, 즉 평균 변화율은 다음과 같다.

구간의 폭이 줄수록 할선은 \(\mathrm{P}\)에서의 접선에 가까워지고, 그 기울기 \(3,\ 2.5,\ 2.1\)도 \(2\)에 가까워진다. 이처럼 구간의 폭을 한없이 \(0\)에 가깝게 줄일 때 기울기가 다가가는 값이 \(x=1\)에서의 순간 변화율이다. 따라서 \(f(x)=x^2\)의 \(x=1\)에서의 순간 변화율은 \(2\)이다.

\(h\to0\)과 극한의 의미

"\(h\)를 한없이 \(0\)에 가깝게 한다"는 것을 수학적으로 극한(limit)이라 하고 \(h\to0\)이라고 쓴다. 여기서 중요한 점은, \(h\to0\)은 "\(h\)에 \(0\)을 대입한다"는 뜻이 아니라는 점이다. 그런 의미보다는 내가 순간 변화율을 구하고자 하는 임의의 점, 예를 들어 \(x=1\)에서 구간 변화폭을 매우 줄인다는 의미이다. 실제로 순간 변화율을 나타내는 식에 \(h=0\)을 대입하면 분모가 \(0\)이 되어 정의되지 않는 \(\dfrac{0}{0}\) 꼴이 되기 쉽다.

예를 들어 함수 \(f(x)=x^2\)의 \(x=1\) 주변에서의 변화율 \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\)을 \(h\)를 조금씩 줄여가며 직접 계산해 보자.

\(h\)가 \(0\)에 가까워질수록 이 값은 \(2\)에 한없이 가까워진다. 이때 \(h=0\)을 직접 대입하면 \(\dfrac{f(1)-f(1)}{0}=\dfrac{0}{0}\)으로 정의되지 않지만, \(h\to0\)일 때의 극한값 \(2\)는 명확하게 존재한다. 이 극한값이 바로 \(x=1\)에서의 순간 변화율이다.

"\(h\)가 \(0\)에 한없이 가까워질 때, \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\)의 값이 \(2\)에 한없이 가까워진다"는 문장 표현을 극한 기호 \(\lim\)(limit)을 사용하여 수식 표현으로 나타내면 다음과 같다.

즉 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\)은 "\(h\)를 \(0\)에 한없이 가깝게 할 때"라는 뜻이고, 뒤에 오는 식이 다다르는 목표값을 등호(\(=\)) 오른쪽에 나타낸다.

\(f'(a)\)와 \(f'(x)\)

극한 기호를 이용한 표기법으로 \(x=a\)에서의 순간 변화율은 \(f'(a)\)로 쓰고, 다음과 같이 정의한다.

기하학적으로 \(f'(a)\)는 그래프 위의 점 \((a,f(a))\)에서 그은 접선의 기울기이며, 다른 말로는 \(x=a\)에서의 미분계수라고도 한다. [FIG. 5.]는 \( f(x)=x^2 \)의 그래프에서 \(x=1\), \(x=2\)일 때의 순간 변화율을 나타내는 두 접선을 보여준다.

\(f'(a)\)는 \(x=a\)에서의 순간 변화율을 나타내는 값이므로 \(a\) 자리에 임의의 \(x\)를 넣을 수 있다고 생각하면, 각 \(x\)마다 순간 변화율을 대응시키는 새로운 함수를 얻는다. 이를 \(f\)의 도함수라 하고 \(f'(x)\)로 쓴다.

도함수는 다음과 같이 여러 기호 체계로 나타낸다.

예: \(f(x)=x^n\)의 도함수

도함수의 정의로부터 \(f(x)=x^2\)의 도함수를 직접 구해보자.

\(x=1\)을 대입하면 \(f'(1)=2\)이며, 이는 STEP 06, STEP 07에서 수치적으로 확인했던 극한값 \(2\)와 정확히 일치한다.

같은 방법으로 \(f(x)=x^3\)의 도함수도 구해보자.

두 계산에는 공통된 구조가 있다. 분자 \(f(x+h)-f(x)\)를 \(h\)에 대한 다항식으로 정리해서 비교해 보자.

두 경우 모두, \(h\)에 대해 일차인 항의 계수 즉 \(2x\), \(3x^2\)이 그대로 도함수 \(f'(x)\)로 나타났다. 이는 우연이 아니다. \(h^2\) 이상의 항들은 \(h\)로 나눈 뒤 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\) 에서 전부 사라지므로, 극한값에는 \(h\)에 대한 일차항 계수만 남을 수밖에 없다.

이 성질을 이용하면 \(f(x)=x^n\)의 도함수는, 분자를 끝까지 나누어 정리하지 않고도 \((x+h)^n-x^n\)을 전개했을 때 \(h\)의 계수가 무엇인지만 찾으면 바로 구할 수 있다. \((x+h)^n\)이 인수 \((x+h)\)가 \(n\)개 곱해진 것임을 이용해, 전개했을 때 생기는 항들을 \(h\)를 몇 번 골랐는지에 따라 분류해 보자.

\(h\)를 한 번도 고르지 않는 경우는 모든 인수에서 \(x\)를 고르는 경우와 같다. 이는 한 가지뿐이며, 이때 만들어지는 항은 \(x^n\)이고, 도함수의 정의에서 분자의 \(-x^n\)과 소거되는 바로 그 항이다.

\(h\)를 정확히 한 번만 고르는 경우는 지금 우리에게 필요한 항이다. 나머지 \(n-1\)개의 인수에서는 \(x\)를 고르므로, 이 경우의 수는 "\(n\)개의 인수 중 어느 인수에서 \(h\)를 고를지" 정하는 가짓수, 곧 \(n\)가지다. \(n\)가지 경우 모두 \(x^{n-1}h\) 형태의 항을 만들며, 이들을 전부 더하면 \(h\)에 대해 일차인 항 \(nx^{n-1}h\)를 얻는다.

\(h\)를 두 번 이상 고르는 경우는 몇 가지인지 셀 필요조차 없다. 앞서 확인한 성질에 따르면 이런 항들은 \(h^2\) 이상이므로, 극한을 취하는 순간 어차피 모두 사라진다.

앞서 확인한 성질 "\(f(x+h)-f(x)\)를 \(h\)에 대해 정리했을 때 \(h\)의 계수가 곧 \(f'(x)\)이다" 을 그대로 적용하면 다음을 얻는다.

임의의 양의 정수 \(n\)에 대해 \(f(x)=x^n\)의 도함수는 \(f'(x)=nx^{n-1}\)이다. 앞서 구한 \(n=2,\ 3\)일 때의 결과는 이 일반식의 특수한 경우라 할 수 있다.

이 결과에는 흥미로운 규칙이 하나 더 있다. \(f(x)=x^2\)(2차식)의 도함수는 \(f'(x)=2x\)로 1차식이고, \(f(x)=x^3\)(3차식)의 도함수는 \(f'(x)=3x^2\)로 2차식이었다. 일반적으로 \(f(x)=x^n\)(\(n\)차식)의 도함수 \(f'(x)=nx^{n-1}\)은 \((n-1)\)차식이다. 즉 2차 함수를 미분하면 1차 함수가, 3차 함수를 미분하면 2차 함수가, 4차 함수를 미분하면 3차 함수가 되는 식으로, \(n\)차 함수를 한 번 미분하면 차수가 정확히 하나 낮은 \((n-1)\)차 함수가 된다.

미분의 기본 공식들

9.1 상수함수와 거듭제곱함수의 미분

상수함수 \(f(x)=c\) (\(c\)는 상수)는 항상 일정하므로 변화율이 \(0\)이다. STEP 08에서 도함수의 정의로부터 이를 직접 확인했다.

거듭제곱함수 \(f(x)=x^n\) (\(n\)은 양의 정수)의 도함수는 다음과 같다. STEP 08에서 \(n=2,\ 3\)인 경우를 직접 계산하고, \((x+h)^n\)을 전개했을 때 생기는 항의 개수를 직접 세어 일반적인 \(n\)에 대해서도 도함수의 정의로부터 직접 증명했다.

9.2 상수배와 합·차의 미분법

9.3 일반 다항함수의 미분

이 규칙들을 조합하면 임의의 다항함수를 항별로 미분할 수 있다. 예를 들어,

자연은 멈춰 있지 않다. 시간과 공간의 흐름에 따라 변화한다.

지금까지는 \(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 를 순수한 수학적 대상으로 다뤘다. 그런데 이 정의가 강력한 진짜 이유는, \(x\)의 자리에 시간을 넣고, 함수를 위치, 자기장, 원자의 개수와 같은 물리량을 넣는 순간 드러난다. 자연 현상은 예외 없이 무언가가 시간에 따라, 혹은 공간에 따라 변화하면서 일어난다. 자연스러운 시간의 흐름에 따라 물체는 움직이고, 자기장은 흔들리고, 원자핵은 붕괴하고, 열은 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흘러간다. 이 변화를 정밀하게 다루는 언어가 바로 미분이다. 달리 말하면, 자연법칙은 대개 어떤 시점에 "무엇이 얼마나 있는가"를 알려주는 식이 아니라 "자연스러운 시간의 흐름에 따라 어떤 양이 지금 어떻게 변하고 있는가"를 알려주는 식이다.

10.1 순간 속도와 뉴턴의 운동 방정식

자동차를 타고 서울에서 부산까지 \(400\,\mathrm{km}\)를 \(4\)시간 만에 갔다면 평균 속도는 \(100\,\mathrm{km/h}\)이다. 그러나 실제로는 가다 서다를 반복했을 것이고, 어느 순간에는 \(150\,\mathrm{km/h}\)로 달렸을 수도, 완전히 멈춰 서 있었을 수도 있다. 만약 출발한 지 \(2\)시간 되는 순간 다른 차와 부딪혔다면, 그때 받는 충격은 여정 전체의 평균 속도가 아니라 부딪히는 바로 그 찰나의 속도에 의해 결정된다. 자연은 평균이 아니라 매 순간의 상태로 반응한다. 이것이 STEP 05에서 평균 변화율만으로는 부족했고, 순간 변화율이 필요했던 바로 그 이유다.

속도의 정의에 따라 위치 \(x(t)\)를 시간 \(t\)에 대해 미분하면 순간 속도를 얻는다.

정의에 따라 속도 \(v(t)\)를 다시 한번 시간에 대해 미분하면 순간 가속도를 얻는다. 도함수를 한 번 더 취한, 이계도함수다.

뉴턴의 운동 제2법칙(가속도 법칙)은 이를 힘과 하나로 묶는다.

이 식이 말해주는 것은 미묘하지만 결정적이다. 가속도 법칙은 물체가 지금 어디에 있는지를 직접 알려주지 않는다. 그 대신 위치의 이계도함수인 가속도가 힘과 어떤 관계인지만 알려줄 뿐이다. 위치 자체는 이 식을 시간에 따라 풀어야만, 즉 가속도로부터 속도를, 속도로부터 위치를 거꾸로 쌓아 올려야만 비로소 얻어진다. 우리가 행성의 궤도, 인공위성의 경로, 발사체의 낙하 지점을 정밀하게 예측할 수 있는 이유가 바로 여기에 있다. 자연은 "어디로 가라"고 직접 지시하는 대신 "지금 이 순간 어떻게 변화되고 있는지"를 알려준다. 그 미분 관계를 시간에 따라 차근차근 풀어 나가다 보면, 물체의 미래 위치는 저절로 밝혀지기 마련이다.

10.2 패러데이의 전자기 유도 법칙

코일 옆에 아무리 강력한 자석을 가만히 두어도 전류는 흐르지 않는다. 그러나 그 자석을 빠르게 움직이는 순간, 코일에는 전류가 흐르기 시작한다. 자석이 거기에 있다는 사실은 아무 일도 일으키지 않지만, 자석이 변할 때 비로소 전기가 만들어진다.

패러데이의 법칙은 코일을 통과하는 자기선속 \(\Phi_B\)와 유도 기전력 \(\varepsilon\) 사이의 관계를 다음과 같이 알려준다.

중요한 것은 자기선속의 양 \(\Phi_B\)가 아니라, 그것이 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는가, 즉 \(\dfrac{d\Phi_B}{dt}\)다. 수력, 화력, 원자력을 가리지 않고 오늘날 거의 모든 발전소가 하는 일은 결국 하나다. 자석(또는 코일)을 끊임없이 돌려 자기선속을 시간에 따라 변화시키는 것. 발전기는 자기장 그 자체가 아니라 자기장의 변화율을 전기로 바꾸는 장치다.

10.3 방사성 붕괴와 탄소 연대 측정

박물관에 있는 고대 목공예품이 정확히 몇 년 전의 것인지는 어떻게 알아낼까? 답은 시료에 남아있는 방사성 동위원소 탄소-14의 양을 재는 것이다. 방사성 원자는 시간이 지나며 붕괴해 그 수가 줄어드는데, 줄어드는 속도는 항상 현재 남아있는 양에 비례한다.

(\(N\)은 남아있는 원자의 수, \(\lambda\)는 붕괴 상수다.) 이 식이 흥미로운 것은, 변화율 \(\dfrac{dN}{dt}\)이 다른 무엇이 아니라 구하려는 대상 \(N\) 자신에 의해 결정된다는 점이다. 미분방정식이 스스로를 참조하는 셈이다. 이 방정식을 풀면 시간에 따른 감소를 나타내는 지수함수를 얻는다.

유기물이 살아있을 때 대기와 평형을 이루던 탄소-14의 양을 \(N_0\)라 하고, 지금 측정한 양을 \(N\)이라 하면, 이 식을 거꾸로 풀어 경과한 시간 \(t\)를 계산할 수 있다. 즉 지금 이 순간의 값만 측정해서, 그 값이 지수적으로 줄어드는 변화율 법칙을 거슬러 올라가 수천 년 전의 시간을 정확히 되짚어낼 수 있는 것이다.

10.4 열전도: 공간에 대한 변화

지금까지의 예는 모두 시간에 대한 변화율이었다. 그러나 미분이 다루는 변화는 시간에 국한되지 않는다. 쇠막대의 한쪽 끝을 촛불로 가열하면 열은 반대쪽 끝을 향해 공간을 따라 이동한다. 열은 얼마나 빠르게, 어느 방향으로 이동할까?

푸리에의 열전도 법칙에 따르면, 단위 면적을 통과하는 열류량(heat flux) \(q\)는 위치 \(x\)에 대한 온도의 변화율, 즉 온도의 공간적 기울기에 비례한다.

(\(k\)는 물질의 열전도율이고, 음의 부호는 열이 항상 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다는 사실을 나타낸다.) 여기서도 핵심은 두 지점의 온도 차이 자체가 아니라, 단위 길이당 온도가 얼마나 급격하게 변하는가, 즉 \(\dfrac{dT}{dx}\)다. 같은 온도차라도 그 변화가 벌어지는 거리가 짧을수록 열은 더 빠르게 흐른다. 건축물의 단열재 두께를 정하는 일도, 컴퓨터 CPU의 발열을 잡는 방열판(히트싱크)을 설계하는 일도, 결국은 이 공간에 대한 미분값을 원하는 대로 조절하는 작업이다.

자연은 한자리에 멈춰 있지 않고 끊임없이 변한다. 자연스러운 시간의 흐름 아래에 위치가 변하고, 자기장이 변하고, 원자의 수가 변하고, 열이 흐른다. 그 변화를 측정하는 도구가 미분이기 때문에, 미분은 곧 자연을 이해하는 하나의 열쇠라 할 수 있다.